Question

3．如图，PA，PB与⊙O相切于点A，B，连接AB，PO交⊙O于点C，交AB于点M．
（1）求证：点C是△APB的内心；
（2）若AB=MP=4，求PC的长．

Answer 1

分析 （1）连接AC、BC、OA、OB，证得RT△AOP≌RT△BOP，求得∠AOC=∠BOC，得出$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，即可证得∠CAB=∠CBA，根据∠PAC=∠ABC，得出∠PAC=∠CAB，同理：∠PBC=∠ABC，根据已知求得PM是∠APB的平分线，即可证得结论；
（2）根据射影定理求得OM，然后根据勾股定理求得半径，即可求得PC的长．

解答 （1）证明：连接AC、BC、OA、OB，
∵PA，PB与⊙O相切于点A，B，
∴PA=PB，OA⊥PA，OB⊥PB，
在RT△AOP和RT△BOP中
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB}\\{OP=OP}\end{array}\right.$
∴RT△AOP≌RT△BOP（HL），
∴∠AOC=∠BOC，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∴∠CAB=∠CBA，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAC=∠ABC，
∴∠PAC=∠CAB，
同理：∠PBC=∠ABC，
∵PA，PB与⊙O相切于点A，B，
∴OP垂直平分AB，
∵PA=PB，
∴PM是∠APB的平分线，
∴点C是△APB的内心；
（2）解：∵OA⊥PA，AM⊥OP，
∴AM²=OM•PM，
∵AB=MP=4，
∴AM=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴OM=$\frac{A{M}^{2}}{PM}$=$\frac{{2}^{2}}{4}$=1，
∴OP=1+4=5，
在RT△AOM中，OA=$\sqrt{A{M}^{2}+O{M}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴OC=OA=$\sqrt{5}$，
∴PC=OP-OC=5-$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了切线的性质与内切圆和内心的判定；熟练掌握切线的性质是解题的关键．