Question

【题目】如图，已知等腰直角三角形△ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆☉O的直径.

（1）求证：△APE是等腰直角三角形；

（2）证明△APC≌△AEB；

（3）若☉O的直径为2，求PC2+PB2的值

Answer 1

【答案】(1)见解答；(2)见解答； (3)4

【解析】

（1）由等腰直角三角形△ABC，得∠C=∠ABP=45°，则∠AEP=∠ABP=45°，由∠PAE=90°，即可解决问题；

（2）由（1）知，AP=AE，∠PAC=∠BAE，又AC=AB，即可得到△APC≌△AEB；

（3）由（2）得CP=BE，又PE是直径，则△PBE是直角三角形，则，即可得到.

解：（1）在等腰直角三角形△ABC中，

∴∠C=∠ABP=45°，∠BAC=90°，

∴∠AEP=∠ABP=45°，

∵PE是直径，

∴∠PAE=90°，

∴∠APE=∠AEP=45°，

∴AP=AE，

∴△APE是等腰直角三角形.

（2）∵△ABC与△APE是等腰直角三角形

∴AP=AE，AC=AB，∠CAB=∠PAE=90°，

∴∠CAB-∠PAB=∠PAE-∠PAB，

即∠PAC=∠BAE，

∴△APC≌△AEB；

（3）由△APC≌△AEB，得CP=BE，

∴PE是直径，

∴∠PBE=90°,则△PBE是直角三角形，

∴，

∵CP=BE，PE=2，

∴.