Question

已知：如图，在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE．
（1）

BE

BA

的值为

 

；
（2）试判断四边形BECF的形状，并说明理由；
（3）当∠A为多少度时，四边形BECF是正方形？画出草图，并证明你的结论．

Answer 1

考点：正方形的判定,菱形的判定

专题：

分析：（1）利用线段垂直平分线的性质以及平行线分线段成比例定理得出即可；
（2）利用四条边相等的四边形是菱形进而得出答案；
（3）利用等腰直角三角形的性质得出CE⊥AB，进而得出四边形BECF是正方形．

解答：解：（1）∵BC的垂直平分线EF交BC于点D，
∴BD=CD，∠BDE=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴DE∥AC，
∴BE=AE，
∴

BE

BA

的值为

1

2

，
故答案为：

1

2

；

（2）菱形；   
理由：∵BE=AE，CF=AE，
∴FC=BE，
∵BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，
∴BF=FC，BE=EC，
∴BF=FC=BE=EC，
∴四边形BECF是菱形；

（3）当∠A为45°时，四边形BECF是正方形，
理由：∵∠A=45°，∠BCA=90°，
∴∠CBA=45°，
∴BC=AC，
∵BE=AE，
∴CE⊥BA，
∵四边形BECF是菱形，
∴四边形FBEC是正方形．

点评：此题主要考查了菱形的判定方法以及正方形的判定和等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形与正方形的判定方法是解题关键．