Question

3．雨涵非常喜欢香蕉，她想了解香蕉销售的相关情况，于是她调查了2014年1-10月某水果商贩销售香蕉的情况．根据调查的信息，雨涵写下了如图所示的调查总结．

根据以上信息，回答下列问题
（1）求y₂的解析式；
（2）哪月销售香蕉时，每千克所获得的利润最大？每千克的最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）把已知两点坐标代入y₂=ax²+bx+$\frac{63}{8}$，求出a与b的值，即可确定出y₂的解析式；
（2）利用待定系数法求出y₁的解析式，由W=y₁-y₂，表示出W与x的二次函数解析式，利用二次函数性质求出利润的最大值，以及此时x的值即可．

解答 解：（1）把（4，$\frac{47}{8}$）和（7，7）代入y₂=ax²+bx+$\frac{63}{8}$得：$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+\frac{63}{8}=\frac{47}{8}}\\{49a+7a+\frac{63}{8}=7}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{1}{8}$，b=-1，
则y₂=$\frac{1}{8}$x²-x+$\frac{63}{8}$（1≤x≤10）；
（2）设y₁=kx+b，把（4，11）和（8，10）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=11}\\{8k+b=10}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{1}{4}$，b=12，
∴y₁=-$\frac{1}{4}$x+12，
设每千克的利润为W元，则有W=y₁-y₂=-$\frac{1}{4}$x+12-$\frac{1}{8}$x²+x-$\frac{63}{8}$=-$\frac{1}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+$\frac{33}{8}$=-$\frac{1}{8}$（x-3）²+$\frac{21}{4}$，
当x=3时，W有最大值为$\frac{21}{4}$，
则3月份销售香蕉时，每千克所获得的利润最大，每千克的最大利润是$\frac{21}{4}$元．

点评 此题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，以及一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．