Question

13．如图所示，已知Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，D、F分别为AB、AC的中点，E是BC上动点，则△DEF周长的最小值为（　　）

• A． 2+$\sqrt{10}$
• B． 2+$\sqrt{13}$
• C． $\sqrt{13}$
• D． 6

Answer 1

分析 首先由三角形的中位线定理可求得DF的长为2，然后作出点F关于BC的对称点F′，连接DF′交BC于点E，由轴对称图形的性质可知EF=EF′，从而可得到ED+EF=DF′，然后在Rt△DFF′中，由勾股定理可求得DF′的长度，从而可求得三角形DEF的周长．

解答 解：如图，作点F关于BC的对称点F′，连接DF′交BC于点E．

∵点D、F分别是AB和AC的中点，
∴DF=$\frac{1}{2}$BC=2．
∵点F与点F′关于BC对称，
∴EF=EF′
在Rt△DFF′中，DF′=$\sqrt{D{F}^{2}+FF{′}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$
△DEF的周长=DF+DE+EF=DF+DF′=2+$\sqrt{13}$．
故选：B．

点评 本题主要考查的是轴对称路径最短问题，作出点F关于BC的对称点，将DE+EF转化为DF′的长是解题的关键．