Question

18．如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D是底边BC上的一个动点，过点D作BC的垂线分别交一腰和另一腰的延长线于点E、F．
（1）试探索当点D在线段BC上移动时，线段AE与AF的长度是否始终相等？请加以证明；
（2）当直线DF经过AB的中点E时，线段EF与DE的长度之间有什么关系？请加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据垂直求出∠C+∠F=90°，∠B+∠BEF=90°，再根据等边对等角求出∠B=∠C，从而得到∠F=∠BEF，再根据对顶角相等求出∠BEF=∠AEF，然后求出∠F=∠AEF，根据等角对等边可得AE=AF；
（2）如图，过A作AG⊥BC于G，连接EG，证出四边形AFEG是平行四边形，得到EF=AG，由于∠B=∠C=∠EGB，得到BE=EG，BD=DG，根据三角形的中位线的性质即可得到结论．

解答 （1）相等，
证明：∵FD⊥BC，
∴∠C+∠F=90°，∠B+∠BED=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠F=∠BED，
∵∠BED=∠AEF
∴∠F=∠AEF，
∴AE=AF；

（2）DE=$\frac{1}{2}$EF，
证明：如图，过A作AG⊥BC于G，连接EG，
∵FD⊥BC，
∴EF∥AG，
∵AB=AC，
∴BG=CG，∵AE=BE，
∴EG∥AC，
∴EG∥AF，
∴四边形AFEG是平行四边形，
∴EF=AG，
∵∠B=∠C=∠EGB，
∴BE=EG，
∴BD=DG，
∴DE=$\frac{1}{2}$AG=$\frac{1}{2}EF$．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直的定义，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，熟记等边对等角和等角对等边是解题的关键．