Question

20．如图，点B、C、E是同一直线上的三点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，连接BG、DE．
（1）求证：BG=DE；
（2）已知小正方形CEFG的边长为1cm，连接CF，如果将正方形CEFG绕点C逆时针旋转，当A、E两点之间的距离最小时，求线段CF所扫过的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质和全等三角形的判定方法可证明△BCG≌△DCE，由全等三角形的性质即可得到BG=DE；
（2）根据C、E、A三点在同一直线上时，EA最短，再根据勾股定理解答即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，
∴BC=CD，CG=CE，∠BCG=∠DCE=90°，
在△BCG和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCG=∠DCE}\\{CG=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE，
∴BG=DE；
（2）由题意可知，当C、E、A三点在同一直线上时，
即点E在对角线AC上时，EA最短，
此时CF旋转了135°，
由勾股定理可得：$CF=\sqrt{2}$
则CF扫过的面积为$S=\frac{135}{360}×π×{（\sqrt{2}）^2}=\frac{3}{4}πc{m^2}$．

点评 本题考查了全等三角形的证明，考查了正方形各边相等且各内角为90°的性质，本题中求证△BCG≌△DCE是解题的关键．