Question

如图，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E，且AE=BD，求证：BD是∠ABC的角平分线．

Answer 1

证明：延长AE、BC交于点F．
∵AE⊥BE，
∴∠BEF=90°，又∠ACF=∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，
∴∠DBC=∠FAC，
在△ACF和△BCD中，

∴△ACF≌△BCD（ASA），
∴AF=BD．
又AE=BD，
∴AE=EF．
∴AB=BF，
∴BD是∠ABC的角平分线．
分析：延长AE、BC交于点F．根据等角的余角相等，得∠DBC=∠FAC；在△BCD和△ACF中，根据ASA证明全等，得AF=BD，从而AE=EF，根据线段垂直平分线的性质，得AB=BF，再根据等腰三角形的三线合一即可证明．
点评：此题综合运用了全等三角形的判定以及性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．