Question

（2013•上海模拟）数学课上，张老师出示图1和下面框中条件：

请你和艾思轲同学一起尝试探究下列问题：
（1）①当点C与点F重合时，如图2所示，可得

AM

DM

的值为

1

；
②在平移过程中，

AM

DM

的值为

x

2

（用含x的代数式表示）；
（2）艾思轲同学将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．
当点A落在线段DF上时，如图3所示，请你帮他补全图形，并计算

AM

DM

的值；
（3）艾思轲同学又将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转m度，0＜m≤90，原题中的其他条件保持不变．请你计算

AM

DM

的值（用含x的代数式表示）．

Answer 1

分析：（1）①根据等腰之间三角形的性质可以得出∠DFA=90°，由旋转可以得出∠DEM=∠BEM=45°，由等腰三角形的性质可以得出EM垂直于DC平分DC，就可以得出EM∥AC，由相似三角形的性质可以得出结论；
②根据条件可以得出∠MEF=∠ACF，就有EM∥AC，根据△GCF∽△HEF由其性质就可以表示出CG，由∠MEF=∠GFE=45°，就有CG=GF，表示出GF，就可以得出DG，求DH，根据平行线分线段成比例定理就可以得出结论；
（2）连结AE，补全图形如图3所示．由条件可以得出AC=

2

，DF=2

2

，由条件得出△MAE∽△BFE就可以求出AM的值，进而可以求出DM的值，从而求出结论；
（3）如图4，过点B作BE的垂线交直线EM于点G，连结AG．根据条件可以得出△ABG≌△CBE，由其性质可以得出∠AGM=∠DEM，就有AG∥DE，就可以得出结论．

解答：解：（1）①如图2∵△DEF和△ABC是等腰直角三角形，
∴DE=FE，AB=BC，∠EDF=∠DFE=∠ACB=∠BAC=45°．∠DEF=∠ABC=90°．
∵∠BEM=45°，
∴∠BEM=∠ACB，∠DEM=45°
∴EM∥AC，∠DEM=∠FEM，
∴

PF

PD

=

AM

DM

．
∵∠DEM=∠FEM，DE=FE，
∴DP=FP，
∴

FP

DP

=1，
∴

AM

DM

=1．
②如图1，在Rt△DEF中，由勾股定理，得
DF=2

2

，
∵∠DEM=∠FEM，DE=FE，
∴DH=FH=EH=

2

．
∵CE=x，
∴FC=2-x．
∵CG∥EM，
∴

CF

EF

=

CG

EH

，

HG

HD

=

AM

DM

．
∴

2-x

2

=

CG

2

，
∴CG=

2

-

2

2

x．
∵∠ACB=∠DFE，
∴CG=FG，
∴FG═

2

-

2

2

x．
∴HG=

2

-（

2

-

2

2

x）=

2

2

x，
∴

HG

DH

=

2 2 x

2

=

x

2

，
∴

AM

DM

=

x

2

．


（2）连结AE，补全图形如图3所示．
∵△ABC和△DEF是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠DEF=90°，AB=1，DE=2，
∴BC=1，EF=2，∠DFE=∠ACB=45°．
∴AC=

2

，DF=2

2

，∠EFB=90°．
∴AD=DF-AC=

2

，
∴点A为DF的中点．
∴EA⊥DF，EA平分∠DEF．
∴∠MAE=90°，∠AEF=45°，AE=

2

．
∵∠MEB=∠AEF=45°，
∴∠MEA=∠BEF．
∴△MAE∽△BFE．
∴

AM

BF

=

AE

EF

，
∴AM=

2

2

．
∴DM=AD-AM=

2

-

2

2

=

2

2

，
∴

AM

DM

=1．


（3）如图4，过点B作BE的垂线交直线EM于点G，连结AG．
∵∠EBG=90°，∠BEM=45°，
∴∠BGE=45°．
∴BE=BG．
∵∠ABC=∠EBG=90°，∴∠ABG=∠CBE．
∵BA=BC，∴△ABG≌△CBE．
∴AG=CE=x，∠AGB=∠CEB．
∵∠AGB+∠AGM=∠CEB+∠DEM=45°，
∴∠AGM=∠DEM，
∴AG∥DE．
∴

AM

DM

=

AG

DE

=

x

2

．
故答案为：1；

x

2

．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时灵活运用等腰直角三角形的性质证明三角形相似和全等是解答本题的关键．