Question

（2012•海曙区模拟）如图，一次函数y₁=ax+b的图象与反比例函数y2=

k

x

的图象交于A，B两点，已知OA=

10

，tan∠AOC=

1

3

，点B的坐标为（-

3

2

，m），连接OB．
（1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

分析：（1）作AE⊥x轴于E，根据正切的定义有tan∠AOC=

1

3

=

AE

OE

，可设AE=a，则OE=3a，利用勾股定理计算出OA=

10

a，而OA=

10

，则a=1，得到A点坐标为（3，1），然后把A（3，1）代入y₂=

k

x

，求出k=1×3=3，从而确定反比例函数的解析式；把B（-

3

2

，m）代入y₂=

3

x

得到m=-2，确定B点坐标为（-

3

2

，-2），再把A（3，1）、B（-

3

2

，-2）代入y₁=ax+b得到k、b的方程组，解方程组得到k与b的值，于是可确定一次函数的解析式；
（2）对于y₁=

2

3

x-1，令x=0，则y=-1，得到D点坐标为（0，-1），然后利用S_△AOB=S_△ODB+S_△ODA进行计算即可．

解答：解：（1）过A点作AE⊥x轴于E，如图，
在Rt△OAE中，tan∠AOC=

1

3

=

AE

OE

，
设AE=a，则OE=3a，
OA=

OE2+AE2

=

(3a)2+a2

=

10

a，
而OA=

10

，
∴a=1，
∴AE=1，OE=3，
∴A点坐标为（3，1），
把A（3，1）代入y₂=

k

x

，得k=1×3=3，
∴反比例函数的解析式为y₂=

3

x

；
把B（-

3

2

，m）代入y₂=

3

x

得-

3

2

m=3，
解得m=-2，
∴B点坐标为（-

3

2

，-2），
把A（3，1）、B（-

3

2

，-2）代入y₁=ax+b得

3k+b=1 - 3 2 k+b=-2

，
解得

k= 2 3 b=-1

，
∴一次函数的解析式为y₁=

2

3

x-1；

（2）∵对于y₁=

2

3

x-1，令x=0，则y=-1，
∴D点坐标为（0，-1），
∴S_△AOB=S_△ODB+S_△ODA=

1

2

×1×

3

2

+

1

2

×1×3=

9

4

．

点评：本题考查了反比例函数综合题：点在函数图象上，则点的横纵坐标满足图象的解析式；利用待定系数法求函数的解析式；运用三角函数的定义和勾股定理计算线段的长度．