Question

如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F．求证：EC=DF．

Answer 1

分析：过点O作OM⊥CD于点M，根据垂径定理可知CM=DM，再由AE⊥EF，OM⊥EF，BF⊥EF可得出AE∥OM∥BF，再根据AB是⊙O的直径可知OA=OB，故OM是梯形AEFB的中位线，再由EM-CM=FM-DM即可得出结论．

解答：证明：过点O作OM⊥CD于点M，
∵OM⊥CD，
∴CM=DM，
∵AE⊥EF，OM⊥EF，BF⊥EF，
∴AE∥OM∥BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OB，
∴OM是梯形AEFB的中位线，
∴EM=FM
∴EM-CM=FM-DM，即EC=DF

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理及梯形中位线定理求解是解答此题的关键．