Question

13．已知△ABC的两边AB、AC （AB≤AC）的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0的两个实数根，第三边长为5．
（1）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）根据根与系数的关系，用含k的代数式表示出AB，、AC的和与积，利用AB²+AC²=（AB+AC）²-2AB•AC，由于第三边的长BC=5，得到关于k的方程，求出k的值；
（2）用含k的代数式表示出AB、AC，当AB=5时，求出△ABC的周长；当AC=5时，求出△ABC的周长．

解答 解：（1）∵AB、AC （AB≤AC）的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0的两个实数根，
∴AB+AC=2k+1，AB•AC=k²+k
∴AB²+AC²=（AB+AC）²-2AB•AC
=[-（2k+1）]²-2（k²+k）
=4k²+4k+1-2k²-2k
=2k²+2k+1
若△ABC是以BC=5为斜边的直角三角形，
∴AB²+AC²=5²
即2k²+2k+1=25
∴k²+k-12=0
∴k₁=3，k₂=-4（不合题意，舍去）
即当k=3时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
（2）因为x²-（2k+1）x+k²+k=0，
即（x-k-1）（x-k）=0
∴x₁=k+1，x₂=k
若k=5，所以k+1=6，此时l_△ABC=5+5+6=16，
若k+1=5，所以k=4，此时l_△ABC=5+5+4=14．

点评 本题主要考查了根与系数的关系、勾股定理、一元二次方程及等腰三角形的相关知识．解决本题的关键是应用完全平方公式的变形求出AB²+AC²．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．