Question

在平面直角坐标系中，直线y=-

3

4

x+6与x轴、y轴分别交于点B、A，点D、E分别是AO、AB的中点，连接DE，点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；与此同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：
（1）分别写出点P和Q坐标（用含t的代数式表示）；
（2）①当点Q在BE之间运动时，设五边形PQBOD的面积为y（cm²），
求y与t之间的函数关系式；
②在①的情况下，是否存在某一时刻t，使PQ分四边形BODE两部分的面积之比为S_△PQE：S五边形_PQBOD=1：29？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（3）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，当t为何值时，⊙P能与△ABO的一边相切？

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）利用直线的解析式首先求得直线与两坐标轴的交点坐标，然后利用三角形的中位线定理求得点P的纵坐标和点P的横坐标即可；
（2）①由P作PH⊥AB得到△PHE∽△AOB，利用相似三角形对应边的比相等表示出PH，然后根据三角形的面积公式求解即可；
②利用S_△PQE：S五边形_PQBOD=1：29列出方程求得t值即可．
（3）分当⊙P与OB相切时、当⊙P与OA相切时和当⊙P与AB相切时三种情况分类讨论得到答案．

解答：（1）∵直线y=-

3

4

x+6与x轴、y轴分别交于点B、A，
∴点A的坐标为（0，6）
∵点D、E分别是AO、AB的中点，
∴DE∥x轴，
∴OD=3，
∵点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；
∴P（t，3），Q（8-

8

5

t，

6

5

t）；

（2）①如图1，由P作PH⊥AB
△PHE∽△AOB

PH

AO

=

PE

AB

∴

PH

6

=

4-t

10

∴PH=

3

5

(4-t)
S_△PEQ

= 1 2 EQ•PH= 1 2 (5-2t)• 3 5 (4-t)= 3 5 t2- 39 10 t+6

S_{四边形DOBE=}

1

2

(4+8)×3=18y=18-(

3

5

t2-

39

10

t+6)=-

3

5

t2+

39

10

t+12
②

3

5

t2-

39

10

t+6=

1

30

×18 
 解得t=-

9

2

（舍），t=2

（3）当⊙P与OB相切时，
分别过点P、Q作PF、QG垂直于x轴，垂足为F、G，
再过点Q作QH⊥PF于点H，
如图2构造直角△PHQ，
此时，△BQG∽△BAO，BQ=2t，
得QG=HF=

6

5

t，BG=

8

5

t，
在Rt△PHQ中，PH²+HQ²=PQ²，
得（3-

6

5

t）²+（8-t-

8

5

t）²=3²，
解得：t₁=4（舍），t₂=

80

41

当⊙P与OA相切时，
分别过点P、Q作PF、QG垂直于x轴，垂足为F、G，
再过点Q作QH⊥PF于点H，
如图3构造直角△PHQ，
此时，△BQG∽△BAO，BQ=2t，
得QG=HF=

6

5

t，BG=

8

5

t，
在Rt△PHQ中，PH²+HQ²=PQ²，
得（3-

6

5

t）²+（8-t-

8

5

t）²=t²，
解得：t₁=

61+2 109

18

＞4（舍），t₂=

61-2 109

18

当⊙P与AB相切时，如图4，
此时，PE=4-t，EQ=2t-5，
由△EPQ∽△BAO，得

.

BO

=

EP

AB

，
∴

2t-5

8

=

4-t

10

，
解得：t=

41

14

∴当t=

80

41

，

61-2 109

18

，

41

14

时，⊙P可与△ABC的一边相切．

点评：本题考查了一次函数的综合知识，特别是本题中涉及到的分类讨论思想更是中考中的热点考题之一，也是个重点内容，需重点训练．