Question

4．已知一元二次方程x²+（2k-1）x+k²=0有两个实数根，且这两个实数根的平方和比两根的积大22，求k的值．

Answer 1

分析 设方程的两实数根为a、b，先根据判别式的意义确定k≤$\frac{1}{4}$，再根据根与系数的关系得a+b=-（2k-1），ab=k²，根据题意得a²+b²=ab+22，利用配方法得（a+b）²-3ab-22=0，所以（2k-1）²-3k²-22=0，解得k₁=7，k₂=-3，然后根据k的范围确定k的值．

解答 解：根据题意得△=（2k-1）²-4k²≥0，解得k≤$\frac{1}{4}$，
设方程的两实数根为a、b，则a+b=-（2k-1），ab=k²，
因为a²+b²=ab+22，则（a+b）²-3ab-22=0，
所以（2k-1）²-3k²-22=0，
整理得k²-4k-21=0，解得k₁=7，k₂=-3，
所以k的值为-3．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了判别式的意义．