Question

如图，已知二次函数的图象过点O（0，0），A（4，0），B（2，-

4 3

3

），M是OA的中点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设P是抛物线上的一点，过P作x轴的平行线与抛物线交于另一点Q，要使四边形PQAM是菱形，求P点的坐标；
（3）将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得曲线OB′A（B′为B关于x轴的对称点），在原抛物线x轴的上方部分取一点C，连接CM，CM与翻折后的曲线OB′A交于点D．若△CDA的面积是△MDA面积的2倍，这样的点C是否存在？若存在求出C点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）由四边形PQAM是菱形，可知PQ=2且PQ∥x轴，因此点P、Q关于对称轴x=2对称，可得点P横坐标为1，从而求出点P的坐标；
（3）假设存在满足条件的点C．由△CDA的面积是△MDA面积的2倍，可得点C纵坐标是点D纵坐标的3倍，由此列方程求出点C的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线过原点，∴设其解析式为：y=ax²+bx．
∵抛物线经过点A（4，0），B（2，-

4 3

3

），
∴

16a+4b=0 4a+2b=- 4 3 3

，解得

a= 3 3 b=- 4 3 3

，
∴二次函数解析式为：y=

3

3

x²-

4 3

3

x．

（2）∵y=

3

3

x²-

4 3

3

x=

3

3

（x-2）²-

4 3

3

，
∴抛物线对称轴为直线：x=2．
∵四边形PQAM是菱形，
∴PQ=MA=2，PQ∥x轴．
∴点P、Q关于对称轴x=2对称，
∴点P横坐标为1．
当x=1时，y=

3

3

-

4 3

3

=-

3

．
∴P（1，-

3

）．
此时PM=2，符合要求．

（3）依题意，翻折之后的抛物线解析式为：y=-

3

3

x²+

4 3

3

x．
假设存在这样的点C，
∵△CDA的面积是△MDA面积的2倍，
∴CD=2MD，∴CM=3MD．
如答图所示，分别过点D、C作x轴的垂线，垂足分别为点E、点F，则有DE∥CF．

∴

DE

CF

=

ME

MF

=

MD

MC

，
∴CF=3DE，MF=3ME．
设C（x，

3

3

x²-

4 3

3

x），
则MF=x-2，ME=

1

3

MF=

1

3

（x-2），OE=ME+OM=

1

3

x+

4

3

∴D（

1

3

x+

4

3

，-

3

3

（

1

3

x+

4

3

）²+

4 3

3

（

1

3

x+

4

3

））．
∵CF=3DE，
∴

3

3

x²-

4 3

3

x=3[-

3

3

（

1

3

x+

4

3

）²+

4 3

3

（

1

3

x+

4

3

）]，
整理得：x²-4x-8=0，
解得：x₁=2+2

3

，x₂=2-2

3

．
∴y₁=

8 3

3

，y₂=

8 3

3

，
∴存在满足条件的点C，点C的坐标为（2+2

3

，

8 3

3

）或（2-2

3

，

8 3

3

）．

点评：本题为二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、解方程、相似三角形、菱形、翻折变换等知识点．第（2）问中，解题关键是紧扣菱形的定义及二次函数的对称性；第（3）问是存在型问题，解题关键得到点C纵坐标是点D的3倍．