Question

12．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；
（2）A、B关于对称轴对称，连接BC，则BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC；根据勾股定理求得BC，即可求得；
（3）分两种情况分别讨论，即可求得．

解答 解：（1）根据题意设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-4），
代入C（0，3）得3=4a，
解得a=$\frac{3}{4}$，
y=$\frac{3}{4}$（x-1）（x-4）=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{5}$x+3，
所以，抛物线的解析式为y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3．
（2）∵A、B关于对称轴对称，如图1，连接BC，
∴BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，
∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC，
∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），
∴OA=1，OC=3，BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=5，
∴OC+OA+BC=1+3+5=9；
∴在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9．
（3）∵B（4，0）、C（0，3），
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3，
①当∠BQM=90°时，如图2，设M（a，b），
∵∠CMQ＞90°，
∴只能CM=MQ=b，
∵MQ∥y轴，
∴△MQB∽△COB，
∴$\frac{BM}{BC}$=$\frac{MQ}{OC}$，即$\frac{5-b}{5}$=$\frac{b}{3}$，解得b=$\frac{15}{8}$，代入y=-$\frac{3}{4}$x+3得，$\frac{15}{8}$=-$\frac{3}{4}$a+3，解得a=$\frac{3}{2}$，
∴M（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{8}$）；
②当∠QMB=90°时，如图3，
∵∠CMQ=90°，
∴只能CM=MQ，
设CM=MQ=m，
∴BM=5-m，
∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC，
∴△BMQ∽△BOC，
∴$\frac{m}{3}$=$\frac{5-m}{4}$，解得m=$\frac{15}{7}$，
作MN∥OB，
∴$\frac{MN}{OB}$=$\frac{CN}{OC}$=$\frac{CM}{BC}$，即$\frac{MN}{4}$=$\frac{CN}{3}$=$\frac{\frac{15}{7}}{5}$，
∴MN=$\frac{12}{7}$，CN=$\frac{9}{7}$，
∴ON=OC-CN=3-$\frac{9}{7}$=$\frac{12}{7}$，
∴M（$\frac{12}{7}$，$\frac{12}{7}$），
综上，在线段BC上存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形，点M的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{8}$）或（$\frac{12}{7}$，$\frac{12}{7}$）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键．