Question

如图，在△ABC中，D是BC是中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥DF交AB于点E，连接EG、EF．
（1）求证：BG=CF；
（2）求证：EG=EF；
（3）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）求出∠C=∠GBD，BD=DC，根据ASA证出△CFD≌△BGD即可．
（2）根据全等得出GD=DF，根据线段垂直平分线性质得出即可．
（3）根据全等得出BG=CF，根据三角形三边关系定理求出即可．

解答：（1）证明：∵BG∥AC，
∴∠C=∠GBD，
∵D是BC是中点，
∴BD=DC，
在△CFD和△BGD中

∠C=∠GBD CD=BD ∠CDF=∠BDG

∴△CFD≌△BGD，
∴BG=CF．

（2）证明：∵△CFD≌△BGD，
∴DG=DF，
∵DE⊥GF，
∴EG=EF．

（3）BE+CF＞EF，
证明：∵△CFD≌△BGD，
∴CF=BG，
在△BGE中，BG+BE＞EG，
∵EF=EG，
∴BG+CF＞EF．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，线段垂直平分线性质，三角形三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能力．