Question

已知抛物线y=x²与动直线y=（2t-1）x-c交于（x₁，y₁），（x₂，y₂）两点，并且．
（1）当c=2时，求t的值；
（2）求t的取值范围；????
（3）求当t取何值时，c有最小值？并出c的最小值．

Answer 1

解：∵x²-（2t-1）x+c=0，
∴x₁+x₂=2t-1，x₁x₂=c，
（1）当c=2时，x₁x₂=2，
故可得：（x₁+x₂）²-2x₁x₂=t²+2t-3，即（2t-1）²-2×2=t²+2t-3，
整理得：t²-2t=0，
解得：t₁=0，t₂=2．
当t=0时，x²+x+2没有实数根，抛物线与直线没有交点，舍去；
当t=2时，符合题意．
故t的值为2．

（2）∵＞0，
∴（t+3）（t-1）＞0，
解得：t＞1或t＜-3．

（3）∵（x₁+x₂）²-2x₁x₂=t²+2t-3，
∴（2t-1）²-2c=t²+2t-3，
整理得：c=t²-3t+2=（t-1）²+，
故可得，当t=1时，c的最小值为．
分析：（1）利用根与系数的关系，可得出x₁²+x₂²的表达式，代入c的值，可得出关于t的方程，解出可得出t的值．
（2）根据x₁²+x₂²＞0，可得出t的取值范围．
（3）利用根与系数的关系得出c关于t的表达式，从而利用配方法求出c的最小值．
点评：本题考查了二次函数的最值、根与系数的关系、抛物线与直线的交点问题，解答本题的关键是用含c的式子表示出x₁²+x₂²，注意学知识要学活，达到灵活运用的地步．