Question

如图，平面直角坐标系中，已知点A（a-1，a+b），B（a，0），且

a+b-3

+（a-2b）²=0，C为x轴上点B右侧的动点，以AC为腰作等腰△ACD，使AD=AC，∠CAD=∠OAB，直线DB交y轴于点P．
（1）求证：AO=AB；
（2）求证：OC=BD；
（3）当点C运动时，点P在y轴上的位置是否发生改变，为什么？

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据算术平方根和平方数的非负性质即可求得a、b的值，即可求得A，B点坐标，即可求得OA，AB长度，即可解题；
（2）易证∠OAC=∠BAD，即可证明△OAC≌△BAD，可得OC=BD，即可解题；
（3）点P在y轴上的位置不发生改变．理由：设∠AOB=∠ABO=α，易证∠OBP是定值，根据OB长度固定和∠POB=90°，即可解题．

解答：证明：（1）∵

a+b-3

+（a-2b）²=0，

a+b-3

≥0，（a-2b）²≥0，
∴

a+b-3

=0，（a-2b）²=0，
解得：a=2，b=1，
∴A（1，3），B（2，0），
∴OA=

12+32

=

10

，
AB=

(2-1)2+32

=

10

，
∴OA=AB；
（2）∵∠CAD=∠OAB，
∴∠CAD+∠BAC=∠OAB+∠BAC，即∠OAC=∠BAD，
在△OAC和△BAD中，

OA=AB ∠OAC=∠BAD AC=AD

，
∴△OAC≌△BAD（SAS），
∴OC=BD；
（3）点P在y轴上的位置不发生改变．

理由：设∠AOB=∠ABO=α，
∵由（2）知△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOB=α，
∵OB=2，∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α为定值，
∵∠POB=90°，
∴OP长度不变，
∴点P在y轴上的位置不发生改变．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△OAC≌△BAD是解题的关键．