Question

6．如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，连接BE交AC于点F，交AD于点H，连结DF并延长交AB于点G，下列结论中，正确的个数是（　　）
①∠CFD=60° 
②S_△BGF=S_△DHF
③△AHE≌△FGB  
④△EDH∽△EFD．

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 ①正确．首先证明∠BFC=∠ABF+∠BAF=15°+45°=60°，再证明△FCB≌△FCD，∠CFD=∠CFB=60°；
②正确．同理可证△AFB≌△AFD，△AFG≌△AFH，推出S_△AFB=S_△AFD，S_△AFG=S_△AFH，推出S_△BFG=S_△DFH；
③错误．比较BF与AE的大小即可判断；
④正确．只要证明∠EFD=∠EDH=60°即可；

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAD=90°，∠BCF=∠DCF=∠BAC=45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD=DE=AB，∠DAE=60°，
∴∠BAE=150°，∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=15°，
∴∠CFB=∠FBA+∠BAF=60°，
在△FCB和△FCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{FC=FC}\\{∠FCB=∠FCD}\\{CB=CD}\end{array}\right.$，
∴△FCB≌△FCD，
∴∠CFD=∠CFB=60°．故①正确，
同理可证△AFB≌△AFD，△AFG≌△AFH，
∴S_△AFB=S_△AFD，S_△AFG=S_△AFH，
∴S_△BFG=S_△DFH，故②正确，
在△BFG中的最长边BF，△AHE中的最长边为AE，显然BF＜AE，
∴△AHE与△FGB  不全等，故③错误，
∵∠AFE=∠BFC=∠CFD=60°，
∴∠DFE=60°=∠EDH，∵∠DEH=∠FED，
∴△EDH∽△EFD，故④正确．
故选B．

点评 本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．