如图.抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c的图象过A两点.以AB为边作正方形ABCD.延长BC交x轴于点E．(1)求抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c的表达式,(2)求D.E两点的坐标,(3)点M从A点出发.以每秒$\frac{\sqrt{5}}{2}$个单位长度的速度沿AD→DC→CB运动.点N同时从E点出发.以每秒1个单位长度� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

14．

如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c的图象过A（0，1），B（1，3）两点，以AB为边作正方形ABCD（点D在x轴上），延长BC交x轴于点E．
（1）求抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c的表达式；
（2）求D、E两点的坐标；
（3）点M从A点出发，以每秒$\frac{\sqrt{5}}{2}$个单位长度的速度沿AD→DC→CB运动，点N同时从E点出发，以每秒1个单位长度的速度沿EO方向运动，过点N作PQ⊥EO，分别交BE于点P，交抛物线于点Q，当点M运动到B点时，M、N两点同时停止运动，设运动时间为t秒．
①当t=3时，求△MPQ的面积；
②直接写出S_△MPQ与t的函数表达式，并写出相应的t的取值范围．

分析（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）如图1，作辅助线，构建全等三角形，证明△GAB≌△ODA（HL），得OD=AG=2．则D（2，0），利用同角的三角函数sin∠ADO=sin∠DEC列比例式可求得DE的长，即得OE的长，写出E的坐标；
（3）如图2，①利用待定系数法求直线BC的解析式，并联立方程组求直线BC与抛物线的交点F的坐标，作垂线段MH，计算当t=3时PQ的长和HN的长即可求面积；
②点P和Q的横坐标都是7-t，分别代入两个解析式求其纵坐标；
分三种情况：
i）当0≤t≤2时，如图3，M在边AD上，
ii）当2＜t≤4时，如图4，M在边CD上，
iii）当4＜t≤6时，如图5，M在边BC上，
前两种情况，分别计算PQ与HN的长，代入面积公式求面积即可，第三种情况，作辅助线，计算点M的横坐标，发现M在直线PQ上，则这三个点在一条直线上，面积为0．

解答解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c的图象过A（0，1），B（1，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{-\frac{1}{2}+b+c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}c=1\\ b=\frac{5}{2}\end{array}$，
∴抛物线的表达式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x+1；
（2）如图1，过点B作BG⊥y轴于点G，
∵B（1，3），
∴GB=1，OG=3．
∵A（0，1），
∴OA=1，GB=OA，
∴AG=OG-OA=3-1=2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵∠BGA=∠AOD=90°，GB=OA，
∴△GAB≌△ODA（HL），
∴OD=AG=2．
∴D（2，0），
∴CD=AD=$\sqrt{AO^2+OD^2}$=$\sqrt{1^2+2^2}$=$\sqrt{5}$，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠ADO=∠DEC，
∴sin∠ADO=sin∠DEC．即$\frac{AO}{AD}$=$\frac{CD}{DE}$，$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{DE}$，
∴DE=5，
∴OE=OD+DE=2+5=7，
∴E（7，0）；
（3）如图2，①设直线BC：y=mx+n，
∵直线BC：y=mx+n过B（1，3），E（7，0）两点，
则$\left\{\begin{array}{l}m+n=3\\ 7m+n=0\end{array}$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线BC：y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$，
设直线BC与抛物线交于B，F两点，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{5}{2}x+1}\\{y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，解得F（5，1），
当t=3时，点M运动的路程为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$×3=AD+DM=$\sqrt{5}$+DM，
∴DM=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
点N运动的路程为：NE=3，ON=4．
∵x_F=5，
∴点N在F点左侧．
过点M作MH⊥OE于点H，
∴DH=DM•cos∠MDH=$\frac{\sqrt{5}}{2}$×$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{1}{2}$，
∴HN=ON-OD-DH=4-2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
当x_Q=4时，y_Q=3，当x_P=4时，y_P=$\frac{3}{2}$，
∴PQ=y_Q-y_P=3-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴S_△MPQ=$\frac{1}{2}$PQ•HN=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{8}$；
②由题意得：P（7-t，$\frac{1}{2}$t），Q（7-t，-$\frac{1}{2}{t}^{2}$+$\frac{9}{2}t$-6）
i）当0≤t≤2时，如图3，M在边AD上，PQ=$\frac{1}{2}$t-（-$\frac{1}{2}{t}^{2}$+$\frac{9}{2}t$-6）=$\frac{1}{2}{t}^{2}$-4t+6，
AM=$\frac{\sqrt{5}}{2}t$，DM=$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$t，
cos∠ODM=$\frac{DH}{DM}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴DH=DM•cos∠ODM=（$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$t）×$\frac{2}{\sqrt{5}}$=2-t，
∴OH=2-DH=2-（2-t）=t，
∴HN=OE-OH-EN=7-t-t=7-2t，
S_△MPQ=$\frac{1}{2}$PQ•HN=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}{t}^{2}$-4t+6）（7-2t）=-$\frac{1}{4}$（2t-7）（t²-8t+12）；
ii）当2＜t≤4时，如图4，M在边CD上，
PQ=-$\frac{1}{2}{t}^{2}$+$\frac{9}{2}t$-6-（$\frac{1}{2}t$）=-$\frac{1}{2}{t}^{2}$+4t-6，
DH=DM•cos∠HDM=（$\frac{\sqrt{5}}{2}t$-$\sqrt{5}$）×$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{1}{2}t$-1，
HN=ON-OD-DH=7-t-2-（$\frac{1}{2}$t-1）=6-$\frac{3}{2}$t，
S_△MPQ=$\frac{1}{2}$PQ•HN=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}{t}^{2}$+4t-6）（6-$\frac{3}{2}$t）=$\frac{3}{8}$（t-4）（t²-8t+12）；
iii）当4＜t≤6时，如图5，M在边BC上，
过M作MH⊥y轴于H，则CM=$\frac{\sqrt{5}}{2}t-2\sqrt{5}$，
过C作CS⊥x轴于S，
易证明△AOD≌△DSC，
∴DS=OA=1，SC=OD=2，
∴C（3，2），
过C作CR⊥y轴于R，
∴CR=OS=3，KR=OK-OR=$\frac{7}{2}$-2=$\frac{3}{2}$，
由勾股定理得：KC=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{3}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，KE=$\sqrt{{7}^{2}+（\frac{7}{2}）^{2}}$=$\frac{7\sqrt{5}}{2}$，
∴KM=KC-CM=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$-（$\frac{\sqrt{5}}{2}t-2\sqrt{5}$）=-$\frac{\sqrt{5}}{2}$t+$\frac{7\sqrt{5}}{2}$，
cos∠KMH=cos∠KEO=$\frac{7}{\frac{7\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{HM}{-\frac{\sqrt{5}t}{2}+\frac{7\sqrt{5}}{2}}$，
∴HM=7-t，
即点M在直线PQ上，
此时，S_△MPQ=0，
综上所述：S_△MPQ=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}（2t-7）（{t}^{2}-8t+12）（0≤t≤2）}\\{\frac{3}{8}（t-4）（{t}^{2}-8t+12）（2＜t≤4）}\\{0（4＜t≤6）}\end{array}\right.$．

点评本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、正方形的性质、三角形全等的性质和判定、图形与坐标特点以及三角形面积的求法，在第三问中，熟练掌握利用坐标表示线段的长是关键，同时利用数形结合的思想，明确动点的运动路程，并分情况进行讨论得出结论．

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（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）如图2，若在直线BC上方的抛物线上有一点F，当△BCF的面积最大时，有一线段MN=$\sqrt{2}$（点M在点N的左侧）在直线AE上移动，首尾顺次连接点F、M、N、B构成四边形FMNB，请求出四边形FMNB的周长最小时点M的横坐标；
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