Question

16．如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C．
（1）用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心M的位置（不用写作法，保留作图痕迹）．
（2）若A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（6，2）连接MA、MC，求扇形AMC的面积．
（3）在（2）的条件下，将扇形AMC卷成一个圆锥，求此圆锥的高．

Answer 1

分析 （1）利用正方形网格，作弦AB和BC的垂直平分线，它们相交于点M，则M点为该圆弧所在圆的圆心的位置；
（2）先计算出AM²=20，MC²=20，AC²=40，再利用勾股定理的逆定理可得∠AMC=90°，然后根据扇形的面积公式求解；
（3）设圆锥底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长和弧长公式得到$\frac{1}{2}$•2π•r•$\sqrt{20}$=5π，解得r=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，然后利用扇形的半径等于母线长和勾股定理计算圆锥的高．

解答 解：（1）作AB和BC的垂直平分线，它们相交于点M，如图，
点M为所求；
（2）连结AC，
∵A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（6，2），M（0，2），
∴AM²=2²+4²=20，MC²=2²+（6-2）²=20，AC²=6²+（2-4）²=40，
∴AM²+MC²=AC²，
∴△AMC为直角三角形，∠AMC=90°，
∴扇形AMC的面积=$\frac{90•π•20}{360}$=5π；
（3）设圆锥底面圆的半径为r，
根据题意得$\frac{1}{2}$•2π•r•$\sqrt{20}$=5π，解得r=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
所以圆锥的高=$\sqrt{20-（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂径定理、扇形面积的计算和圆锥的计算．