Question

在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB=6，AC=8，则BC=

 

．

Answer 1

分析：作出∠A的平分线AD，利用相似三角形的判定得出△BAD∽△BCA，进而得出

BA

BC

=

AD

AC

=

BD

AB

，从而得出48=AD•BC，6AD=8（BC-AD），进而得出BC的值．

解答：解：方法一：作∠A的平分线AD，
∵最大角∠A是最小角∠C的两倍，
∴∠BAD=∠DAC=∠C，
∴AD=CD，
∵∠BAC=2∠C，
∴∠BAD=∠C，
又∵∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴

BA

BC

=

AD

AC

=

BD

AB

，
∴

6

BC

=

AD

8

=

BC-AD

6

，
∴48=AD•BC，6AD=8（BC-AD），
解得：BC=

4

7

AD，
∴CB=

84

=2

21

．
故答案为：2

21

．
方法二：解：假设∠C=x，
∴∠A=2x，
∴∠B=180-3x，
∵sin3x=sin（180-3x），
∵

BC

sin2x

=

AB

sinx

=

AC

sin3x

，
∴BCsin3x=8sin2x，
∴BCsinx=6sin2x，
∴BC=12cosx，
∴sin3x=

4

3

sinx，
∴3sinx-4sinx³=

4

3

sinx，
4sinx²=3-

4

3

=

5

3

，sinx=

15

6

，cosx=

21

6

，
BC=12×

21

6

=2

21

．
故答案为：2

21

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，作出辅助线后利用相似三角形性质求出是解决问题的关键．