Question

4．四边形ACBD中，AB、CD交于O，AB=CD，E、F是BC、AD的中点，判断△OMN的形状．

Answer 1

分析 △OMN为等腰三角形，理由为：取AC的中点P，连接PE，PF，如图所示，利用中位线定理得到PE与AB平行，且PE等于AB的一半，同时得到一对同位角相等；同理得到PF为中位线，得到PF与CD平行，且PF等于CD的一半，由AB=CD，得到PE=PF，利用等边对等边及等量代换得到∠OMN=∠ONM，利用等角对等边即可得证．

解答 解：△OMN为等腰三角形，理由为：
取AC的中点P，连接PE，PF，如图所示，
∵E为BC中点，即PE为△ABC中位线，
∴PE∥AB，且PE=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠OMN=∠FEP，
同理PF为△ACD的中位线，
∴PF∥CD，且PF=$\frac{1}{2}$CD，
∴∠ONM=∠EFP，
∵AB=CD，
∴PE=PF，
∴∠EFP=∠FEP，
∴∠OMN=∠ONM，
则OM=ON，即△OMN为等腰三角形．

点评 此题考查了三角形中位线定理，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键．