Question

12．如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，点O是对角线AC的中点，连结BO．动点P，Q从点B同时出发，点P沿B→C→B以2cm/s的速度运动到终点B．点Q沿B→A以1cm/s的速度运动到终点A．以BP、BQ为边作矩形BPMQ（点M不与点A重合）．设矩形BPMQ与△OBC重叠部分图形的面积为y（cm²），点P的运动时间为x（s）．
（1）当点M在AC上时，求x的值；
（2）直接写出点O在矩形BPMQ内部时x的取值范围；
（3）当矩形BPMQ与△OBC重叠部分的图形是四边形时，求y与x之间的函数关系式．
（4）直接写出直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3的两部分时x的值．

Answer 1

分析 （1）先求出∠MPC=∠ABC=90°，再根据tan∠MCP=tan∠ACB，得出$\frac{MP}{PC}$=$\frac{AB}{BC}$，$\frac{x}{4-2x}$=$\frac{3}{4}$，求出x即可；
（2）根据题意画出图形，即可得出x的取值范围；
（3）根据S_△ABC=6，点O是对角线AC的中点，得出S_△OBC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=3，分三种情况讨论：①当0＜x≤$\frac{6}{5}$时，设OB与QM的交点为E，根据$\frac{QE}{QB}$=$\frac{BC}{AB}$得出QE=$\frac{4}{3}$x，根据y=S_矩形BPMQ-S_△BEQ代入计算即可；②当$\frac{3}{2}$≤x＜2时，设OC与PM的交点为F，根据$\frac{PF}{PC}$=$\frac{AB}{BC}$，得出PF=$\frac{3}{4}$（4-2x），根据y=S_△BOC-S_△PCF代入计算即可；③当2＜x＜3时，设OC与PM的交点为G，根据$\frac{PG}{PC}$=$\frac{AB}{BC}$，得出PG=$\frac{3}{4}$（2x-4），根据y=S_△BOC-S_△PCG代入计算即可；      
（4）①当0＜x≤1时，此时直线AM经过BC的中点N，根据PM∥AB，得出$\frac{PM}{AB}=\frac{PN}{BN}$，$\frac{x}{3}=\frac{2-2x}{2}$，求出x；
②当1＜x≤2时，此时直线AM经过CD的中点E．过点E作EF⊥AB，垂足为点F，根据EF∥QM，得出$\frac{AQ}{AF}$=$\frac{QM}{EF}$，$\frac{3-x}{\frac{3}{2}}$=$\frac{2x}{4}$，求出x，当2＜x≤4时，PM＞$\frac{12}{7}$，直线AM不再经过点E．

解答 解：（1）如图①，
∵在矩形ABCD中，
∴∠ABC=90°．
∵∠MPC=∠ABC=90°，
∴tan∠MCP=tan∠ACB．
∴$\frac{MP}{PC}$=$\frac{AB}{BC}$，
∴$\frac{x}{4-2x}$=$\frac{3}{4}$，
∴x=$\frac{6}{5}$；                                                      

（2）如图②、③，x的取值范围是$\frac{3}{2}$＜x＜3；                             

（3）∵在矩形ABCD中，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×3=6．
∵点O是对角线AC的中点，
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=3．
①当0＜x≤$\frac{6}{5}$时，如图④，设OB与QM的交点为E．               
∵tan∠QBE=tan∠CAB，
∴$\frac{QE}{QB}$=$\frac{BC}{AB}$．
∴$\frac{QE}{x}$=$\frac{4}{3}$．
∴QE=$\frac{4}{3}$x．
∴y=S_矩形BPMQ-S_△BEQ=x•2x-$\frac{1}{2}$x•$\frac{4}{3}$x=$\frac{4}{3}$x²．                  
②当$\frac{3}{2}$≤x＜2时，如图⑤，设OC与PM的交点为F．               
∵tan∠BCA=tan∠PCF，
∴$\frac{PF}{PC}$=$\frac{AB}{BC}$．
∴$\frac{PF}{4-2x}$=$\frac{3}{4}$．
∴PF=$\frac{3}{4}$（4-2x）．
∴y=S_△BOC-S_△PCF=3-$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$（4-2x）²=-$\frac{3}{2}$x²+6x-3．          
③当2＜x＜3时，如图⑥，设OC与PM的交点为G．                
∵tan∠BCA=tan∠PCG，
∴$\frac{PG}{PC}$=$\frac{AB}{BC}$．
∴$\frac{PG}{2x-4}$=$\frac{3}{4}$．
∴PG=$\frac{3}{4}$（2x-4）．
∴y=S_△BOC-S_△PCG=3-$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$（2x-4）²=-$\frac{3}{2}$x²+6x-3．          
综合所述，y与x之间的函数关系式为y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{3}{x}^{2}（0＜x≤\frac{6}{5}）}\\{-\frac{3}{2}{x}^{2}+6x-3（\frac{3}{2}≤x＜2）}\\{-\frac{3}{2}{x}^{2}+6x-3（2＜x＜3）}\end{array}\right.$；

（4）x=$\frac{3}{4}$或x=$\frac{12}{7}$．
①当0＜x≤1时，如图⑦，此时直线AM经过BC的中点N．
∵PM∥AB，
∴△PMN∽△BAN．
∴$\frac{PM}{AB}=\frac{PN}{BN}$．
∴$\frac{x}{3}=\frac{2-2x}{2}$．
∴x=$\frac{3}{4}$．
②当1＜x≤2时，如图（8），此时直线AM经过CD的中点E．过点E作EF⊥AB，垂足为点F．
∵EF∥QM，
∴△AMQ∽△AEF．
∴$\frac{AQ}{AF}$=$\frac{QM}{EF}$，
∴$\frac{3-x}{\frac{3}{2}}$=$\frac{2x}{4}$
∴x=$\frac{12}{7}$．
当2＜x≤4时，PM＞$\frac{12}{7}$，直线AM不在经过点E．

点评 此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、矩形的性质、三角函数等，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，注意分类讨论．