Question

如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分线CF于点F，取边AB的中点G，连接EG．
（1）证明：∠BAE=∠FEC；
（2）证明：△AGE≌△ECF．

Answer 1

分析：（1）求出∠B=90°，推出∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEC=90°，即可得出答案；
（2）求出AG=EC，∠GAE=∠CEF，∠AGE=∠ECF，根据ASA即可推出两三角形全等．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=180°-90°=90°，
∴∠BAE=∠FEC；
（2）证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AB=BC，
∵G为AB中点，E为BC中点，
∴AG=EC，BG=BE，
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴∠AGE=135°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=∠DCM=90°，
∵CF平分∠DCM，
∴∠DCF=45°，
∴∠FCE=135°=∠AGE，
∵∠BAE=∠FEC，
∴∠GAE=∠CEF，
在△AGE和△ECF中

∠GAE=∠CEF AG=EC ∠AGE=∠ECF

∴△AGE≌△ECF（ASA）．

点评：本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，角平分线定义等知识点的应用，关键是推出证两三角形全等的三个条件．