Question

如图，直线y=2x+4分别与x轴、y轴交于A、B两点，在此直线上有一点P，坐标是，过点P的直线交y轴于点E，交x轴于点F，F点的坐标为（4，0）．
（1）求直线EF的解析式．
（2）求证：AB=EF．
（3）请你判断△APF是否是直角三角形，并说出理由．

Answer 1

解：（1）设直线EF的解析式为y=kx+b，
则有，
解此方程组得：，
∴直线EF的解析式为：y=-x+2；

（2）直线y=2x+4别与x轴、y轴交点分别为A（-2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
∴AB==2，
∵直线y=-x+2与y轴的交点E（0，2），
∴OE=2，
∵OF=4，
∴EF==2，
∴AB=EF；

（3）△APF是直角三角形．
理由：在△OAB和△OEF中，
，
∴△OAB≌△OEF（SAS），
∴∠OFE=∠OBA，
∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠OAB+∠OFE=90°，
∴∠APF=90°，
即△APF是直角三角形．
分析：（1）首先设直线EF的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求得答案；
（2）由直线y=2x+4分别与x轴、y轴交于A、B两点，可求得点A与B的坐标，又由直线y=-x+2与y轴的交点E（0，2），利用勾股定理即可求得AB=EF=2；
（3）易证得△OAB≌△OEF，则可得∠OFE=∠OBA，又由∠OAB+∠OBA=90°，即可得△APF是直角三角形．
点评：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．