Question

如图，在直角坐标系xoy中，一次函数y=

3

3

x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）已知OC⊥AB于C，求C点坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为一次函数y=

3

3

x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，所以分别令x=0，y=0，可求得B、A的坐标，从而求出OA=2

3

，OB=2，AB=4，因为OC⊥AB于C，利用射影定理可得AO²=AC•AB，所以AC=

AO2

AB

=

(2 3 )2

4

=3，要求C点坐标，需作CD⊥x轴于D，证明△ACD∽△ABO，利用相似三角形对应边的比等于相似比即可得到

CD

BO

=

AD

AO

=

AC

AB

，代入相关数据即可求出CD=

3

2

，AD=

3

2

3

，而OD=AO-AD=2

3

-

3

2

3

=

1

2

3

，从而求出C点坐标为（-

1

2

3

，

3

2

）；
（2）要在x轴上寻找点P，使△PAB为等腰三角形，需分情况讨论：
若PB=AB=4，则P和A关于y轴对称，所以有P1(2

3

，0）；
若PA=PB，设P（x，0），利用两点间的距离公式可得（x+2

3

）²=x²+（0-2）²，解之可得P2(-

2

3

3

，0）；
因为A（-2

3

，0），若PA=PB=4，则P3(4-2

3

，0），P4(-4-2

3

，0）．

解答：解：（1）y=

3

3

x+2，令x=0，
得y=2，令y=0，得x=-2

3

，
∴A点坐标是（-2

3

，0），B点坐标是（0，2），
∴OA=2

3

，OB=2，AB=4，
在△AOB中，∵∠AOB=90°，OC⊥AB于C，
∴AO²=AC•AB，
∴AC=

AO2

AB

=

(2 3 )2

4

=3，
作CD⊥x轴于D，则∠ADC=∠AOB=90°，又∠CAD=∠BAO，
∴△ACD∽△ABO，
∴

CD

BO

=

AD

AO

=

AC

AB

，
∴

CD

2

=

AD

2 3

=

3

4

，
∴CD=

3

2

，AD=

3

2

3

，
∴OD=AO-AD=2

3

-

3

2

3

=

1

2

3

，
∴C点坐标为（-

1

2

3

，

3

2

）；

（2）存在满足条件的点P，
P1(2

3

，0），P2(-

2

3

3

，0），P3(4-2

3

，0），P4(-4-2

3

，0）．

点评：本题需仔细分析题意，结合图形，利用相似三角形、分类讨论来解决问题．