Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）当BC=4，AB=8时，求劣弧AC的长．

Answer 1

考点：切线的判定,弧长的计算

专题：

分析：（1）连接BC，由AB是⊙O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠EAC=∠D，则可得AE是⊙O的切线；
（2）首先连接OC，易得△OBC是等边三角形，则可得∠AOC=120°，由弧长公式，即可求得劣弧AC的长．

解答：解：（1）连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BAC+∠ABC=90°
又∵∠EAC=∠D，∠B=∠D，
∴∠BAC+∠CAE=90°
即BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；

（2）连接CO，
∵△ABC是直角三角形，
∴sin∠BAC=

BC

AB

=

4

8

=

1

2

，
∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，
∴∠AOC=120°，

120•π×4

180

=

8π

3

．

点评：此题考查了切线的判定、圆周角定理以及弧长公式等知识．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．