Question

（2013•三明）如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，动点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动到终点C，动点P从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B．已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点，连接OP，OQ．设运动时间为t，四边形OPCQ的面积为S，那么下列图象能大致刻画S与t之间的关系的是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：作OE⊥BC于E点，OF⊥CD于F点设BC=a，AB=b，点P的速度为x，点F的速度为y，则CP=xt，DQ=yt，CQ=b-yt，根据矩形和中位线的性质得到OE=

1

2

b，OF=

1

2

a，根据P，Q两点同时出发，并同时到达终点，则

a

x

=

b

y

，即ay=bx，然后利用S=S_△OCQ+S_△OCP=

1

2

•

1

2

a•（b-yt）+

1

2

•

1

2

b•xt，再整理得到S=

1

4

ab（0＜t＜

a

x

），根据此解析式可判断函数图象线段（端点除外）．

解答：解：作OE⊥BC于E点，OF⊥CD于F点，如图，设BC=a，AB=b，点P的速度为x，点F的速度为y，
则CP=xt，DQ=yt，所以CQ=b-yt，
∵O是对角线AC的中点，
∴OE=

1

2

b，OF=

1

2

a，
∵P，Q两点同时出发，并同时到达终点，
∴

a

x

=

b

y

，即ay=bx，
∴S=S_△OCQ+S_△OCP
=

1

2

•

1

2

a•（b-yt）+

1

2

•

1

2

b•xt
=

1

4

ab-

1

4

ayt+

1

4

bxt
=

1

4

ab（0＜t＜

a

x

），
∴S与t的函数图象为常函数，且自变量的范围为0＜t＜

a

x

）．
故选A．

点评：本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．