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    已知：在正方形ABCD中，点E是边AB上点，点G在边AD上，连接EG，EG=DG，作EF⊥EG，交边BC于点F（图1）．

    （1）求证：AE+CF=EF；
    （2）连接正方形ABCD的对角线AC，连接DF，线段AC与线段DF相交于点K（图2），探究线段AE、AD、AK之间的数量关系，直接写出你的结论；
    （3）在（2）的条件下，连接线段DE与线段AC相交于点P，（图3）若AK=8．△BEF的周长为24，求PK的长．
    【答案】分析：（1）连结DF，作DM⊥EF，垂足M．先利用AAS证明△DAE≌△DME，得出AE=ME，再利用HL证明Rt△DCF≌Rt△DMF，得出CF=MF，进而可证明AE+CF=EF；
    （2）连接EK、ED．先由∠EAK=∠EDK=45°，得出A、E、K、D四点共圆，根据圆内接四边形的对角互补得到∠EKD=90°，由勾股定理得出DK2=DE2=（AD2+AE2），再根据S四边形AEKD=S△ADE+S△KDE=S△AEK+S△KDA，由三角形的面积公式整理后可得出AE+AD=AK；
    （3）先由△BEF的周长为24，结合（1）的结论求出正方形ABCD的边长为12，则AC=12，再由（2）的结论得出AE=4．然后根据AE∥CD，得到△AEP∽△CDP，由相似三角形对应边成比例得出==，求出CP=9，进而得到PK=CP-CK=5．
    解答：（1）证明：连结DF，作DM⊥EF，垂足M．
    ∵DM⊥EF，GE⊥EF，
    ∴∠GEF=∠DMF=90°，
    ∴DM∥GE，
    ∴∠MDE=∠DEG，
    ∵DG=GE，
    ∴△GDE是等腰三角形，
    ∴∠GED=∠GDE，
    ∴∠GDE=∠EDM，
    ∵在△DAE和△DME中，
    ，
    ∴△DAE≌△DME（AAS），
    ∴DM=AD，AE=ME，
    ∵AD=CD，
    ∴DC=DM，
    在Rt△DCF和Rt△DMF中，
    ，
    ∴Rt△DCF≌Rt△DMF（HL），
    ∴CF=MF，
    ∴AE+CF=EM+MF，
    ∵EM+MF=EF，
    ∴AE+CF=EF；

    （2）解：连接EK、ED．
    由（1）知，△DAE≌△DME，Rt△DCF≌Rt△DMF，
    ∴∠ADE=∠MDE=∠ADM，∠CDF=∠MDF=∠CDM，
    ∴∠EDF=∠EDM+∠MDF=∠ADM+∠CDM=∠ADC=45°，
    ∵∠EAK=45°，
    ∴∠EAK=∠EDK，
    ∴A、E、K、D四点共圆，
    ∴∠EAD+∠EKD=180°，
    ∴∠EKD=180°-∠EAD=90°，
    ∴∠EDK=45°，
    ∴△EDK是等腰直角三角形，DE2=2DK2，
    ∵S四边形AEKD=S△ADE+S△KDE=S△AEK+S△KDA，
    ∴AD•AE+DK•EK=AK•AE•sin∠EAK+AK•AD•sin∠DAK，
    ∴AD•AE+DK2=AK•AE×+AK•AD×，
    ∵DK2=DE2=（AD2+AE2），
    ∴AD•AE+（AD2+AE2）=AK•AE+AK•AD，
    ∴2AD•AE+AD2+AE2=AK•AE+AK•AD，
    ∴（AD+AE）2=AK（AD+AE），
    ∵AD+AE≠0，
    ∴AE+AD=AK；

    （3）解：∵△BEF的周长为24，
    ∴BE+EF+BF=24，
    由（1）知AE+CF=EF，
    ∴BE+AE+CF+BF=24，
    ∴AB+BC=24，
    ∴AB=BC=12，即正方形ABCD的边长为12，
    ∴AC=AB=12．
    由（2）知AE+AD=AK，
    ∵AK=8，
    ∴AE+AD=×8=16，CK=AC-AK=12-8=4，
    ∴AE=16-AD=4．
    ∵AE∥CD，
    ∴△AEP∽△CDP，
    ∴===，
    ∴CP=AC=×12=9，
    ∴PK=CP-CK=9-4=5．
    点评：本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，四点共圆的条件，圆内接四边形的性质，三角形的面积，勾股定理等知识，综合性较强，难度较大．准确地作出辅助线是解题的关键．
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    （2）设AP=xcm，试用含x的代数式表示y（cm2）；
    （3）当y=2cm2时，试确定点P的位置．

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    2
    2
    ；
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    4
    3
    4
    3
    ；继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形；…以此类推，则第n个内接正方形的边长an=
    2n
    3n-1
    2n
    3n-1
    ．（n为正整数）

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    （2）如图2，分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，请问S1+S2与S3有怎样的数量关系，并证明你的结论；
    （3）分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2、S3，根据（2）中的探索，直接回答S1+S2与S3有怎样的数量关系；
    （4）若Rt△ABC中，AC=6，BC=8，求出图4中阴影部分的面积．

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