Question

如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A（2，m），B（-3，n）为两动点，其中m＞1，连接OA，OB，OA⊥OB，作BC⊥x轴于C点，AD⊥x轴于D点．
（1）求证：mn=6；
（2）当S_△AOB=10时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；
（3）在（2）的条件下，设直线AB交y轴于点F，过点F作直线l交抛物线于P，Q两点，问是否存在直线l，使S_△POF：S_△QOF=1：2？若存在，求出直线l对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据A、B的坐标，可得OC、OD、BC、AD的长，由于OA⊥OB，可证得△BOC∽△OAD，根据相似三角形所得比例线段，即可证得所求的结论．
（2）欲求抛物线的解析式，需先求出A、B的坐标；根据（1）的相似三角形，可得3OA=mOB，用OB表示出OA，代入△OAB的面积表达式中，可得到OB²的值，在Rt△BOC中，利用勾股定理可求得另外一个OB²的表达式，联立两式可得关于m、n的等式，结合（1）的结论即可求出m、n的值，从而确定A、B的坐标和抛物线的解析式．
（3）求直线l的解析式，需先求出P、Q的坐标，已知S_△POF：S_△QOF=1：2，由于两三角形同底不等高，所以面积比等于高的比，即P、Q两点横坐标绝对值的比，可设出点P的坐标，然后根据两者的比例关系表示出点Q的坐标，由于点Q在抛物线的图象上，可将其代入抛物线的解析式中，即可求得点P、Q的坐标，进而可利用待定系数法求得直线l的解析式．

解答：证明：（1）∵A，B点坐标分别为（2，m），（-3，n），
∴BC=n，OC=3，OD=2，AD=m，
又∵OA⊥OB，易证△CBO∽△DOA，
∴

CB

DO

=

CO

DA

=

BO

OA

，
∴

n

2

=

3

m

，
∴mn=6．

解：（2）由（1）得，OA=

m

3

BO，又S_△AOB=10，
∴

1

2

OB•OA=10，
即BO•OA=20，
∴mBO²=60，
又∵OB²=BC²+OC²=n²+9，
∴m（n²+9）=60，
又∵mn=6①，
∴m（n²+9）=mn•n+9m=6n+9m=60，
∴2n+3m=20②，
∴①②联立得，m=6（m=

2

3

不合题意，舍去），n=1；
∴A坐标为（2，6），B坐标为（-3，1），
易得抛物线解析式为y=-x²+10．

（3）直线AB为y=x+4，且与y轴交于F（0，4）点，
∴OF=4，
假设存在直线l交抛物线于P，Q两点，且使S_△POF：S_△QOF=1：2，如图所示，
则有PF：FQ=1：2，作PM⊥y轴于M点，QN⊥y轴于N点，
∵P在抛物线y=-x²+10上，
∴设P坐标为（t，-t²+10），
则FM=-t²+10-4=-t²+6，易证△PMF∽△QNF，
∴

PM

QN

=

MF

FN

=

PF

QF

=

1

2

，
∴QN=2PM=-2t，NF=2MF=-2t²+12，
∴ON=-2t²+8，
∴Q点坐标为（-2t，2t²-8），
Q点在抛物线y=-x²+10上，2t²-8=-4t²+10，
解得t=-

3

，(t=

3

舍去)，
∴P坐标为（-

3

，7），Q坐标为（2

3

，-2），
∴易得直线PQ为y=-

3

x+4；
根据抛物线的对称性可得直线PQ的另解为y=

3

x+4．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、图形面积的求法以及用待定系数法确定函数解析式的方法，在（3）题中，能够将三角形的面积比转化为P、Q两点横坐标的比例关系是解决问题的关键．