Question

已知∠MON=90°，等边三角形ABC的一个顶点A是射线OM上的一定点，顶点B与点O重合，顶点C在∠MON内部．
（1）当顶点B在射线ON上移动到B₁时，连接AB₁，请在∠MON内部作出以AB₁为一边的等边三角形AB₁C₁（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）设AB₁与OC交于点Q，AC的延长线与B₁C₁交于点D．求证：△ACQ∽△AB₁D；
（3）连接CC₁，试猜想∠ACC₁为多少度？并证明你的猜想．

Answer 1

解：（1）作图如图．

（2）∵∠CAQ=∠B1AD，∠ACQ=∠AB₁D=60°，
∴△ACQ∽△AB₁D（AA）．

（3）猜测∠ACC₁=90°．
∵OA=AC，∠OAB₁=∠CAC₁=60°-∠CAQ，AB1=AC1，
∴△AOB₁≌△ACC₁（SAS），
∴∠ACC₁=∠AOB₁=90°．
故∠ACC₁为90度．
分析：（1）分别以A、B₁为圆心，AB₁为半径，作弧在∠MON内部交于C₁；
（2）两三角形有一公共角，且∠ACQ=∠AB₁D=60°，即可证明△ACQ∽△AB₁D；
（3）猜测∠ACC₁=90°，证明△AOB₁≌△ACC₁最后根据全等三角形的对应角相等即可求出．
点评：此题主要考查等边三角形的作法以及等边三角形的性质在三角形相似和全等中的应用．