Question

如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．

(1)BD与CD有什么数量关系，并说明理由；

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　专题：证明题．

　　分析：(1)根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE＝∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF＝CD，再利用等量代换即可得证；

　　(2)先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB＝90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB＝AC

　　解答：解：(1)BD＝CD

　　理由如下：∵AF∥BC，

　　∴∠AFE＝∠DCE，

　　∵E是AD的中点，

　　∴AE＝DE，

　　在△AEF和△DEC中，，

　　∴△AEF≌△DEC(AAS)，

　　∴AF＝CD，

　　∵AF＝BD，

　　∴BD＝CD；

　　(2)当△ABC满足：AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．

　　理由如下：∵AF∥BD，AF＝BD，

　　∴四边形AFBD是平行四边形，

　　∵AB＝AC，BD＝CD，

　　∴∠ADB＝90°，

　　∴?AFBD是矩形．

　　点评：本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．

提示：

考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质．