Question

12．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=120°，底边BC=2，则△ABC的面积是$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 分当圆心O在△ABC内部、当点O在△ABC外两种情形，根据垂径定理、勾股定理分别求解即可．

解答 解：如图1，当圆心O在△ABC内部时，作AE⊥BC于E，
∵OB=OC，∠BOC=120°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，
∴AE=$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×BC×AE=$\sqrt{3}$，
如图2，当圆心O在△ABC外部时，
同理，△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×BC×AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考常考题型．