Question

12．定义：对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n，有m≤y≤n，我们就称此函数是在[m，n]范围内的“标准函数．”例如：函数y=-x+4，当x=1时，y=3；当x=3时，y=1，即当1≤x≤3时，有1≤y≤3，所以说函数y=-x+4是在[1，3]范围内的“标准函数．”
（1）正比例函数y=x是在[1，2015]范围内的“标准函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是在[2，6]范围内的“标准函数”，求此函数的解析式；
（3）如图，矩形ABCD的边长AB=2，BC=1，且B点坐标为（2，2），若一次函数y=kx+b（k＜0）是在[m，n]范围的“标准函数”，当直线y=kx+b与矩形ABCD有公共点时，求m+n的最大值；
（4）在（3）的条件下，若直线y=kx+b与矩形ABCD没有公共点时，求m+n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据“标准函数”的定义，找出当x=1时，y=1；当x=2015时，y=2015．由此即可得出函数y=x是在[1，2015]范围内的“标准函数”；
（2）分k＞0和k＜0两种情况考虑，根据“标准函数”的定义，即可得出关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k、b的值，从而得出函数解析式；
（3）根据“标准函数”的定义，即可得出关于m、k、b、n的四元一次方程组，解方程组即可得出k=0，从而得出b=m+n，根据矩形的性质结合AB=2，BC=1，B（2，2）即可得出点D的坐标，分别代入B、D点的坐标，即可得出直线y=kx+b与矩形ABCD有公共点时，m+n的取值范围，由此即可得出结论；
（4）根据（3）的结论即可得出当直线y=kx+b与矩形ABCD没有公共点时，m+n的取值范围．

解答 解：（1）正比例函数y=x是在[1，2015]范围内的“标准函数”，理由如下：
当x=1时，y=1；当x=2015时，y=2015．
即当1≤x≤2015时，有1≤y≤2015，
∴函数y=x是在[1，2015]范围内的“标准函数”．
（2）当k＞0时，有$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=2}\\{6k+b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴此函数的解析式为y=x；
当k＜0时，有$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=6}\\{6k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=10}\end{array}\right.$，
∴此函数的解析式为y=-2x+10．
综上可知：若一次函数y=kx+b（k≠0）是在[2，6]范围内的“标准函数”，则该函数的解析式为y=x或y=-2x+10．
（3）∵一次函数y=kx+b（k＜0）是在[m，n]范围的“标准函数”，
∴$\left\{\begin{array}{l}{mk+b=n}\\{nk+b=m}\end{array}\right.$，解得：k=-1，
∴m+n=b，
∴一次函数的解析式为y=-x+（m+n）．
∵矩形ABCD的边长AB=2，BC=1，且B点坐标为（2，2），
∴D点的坐标为（3，4）．
当点B在该一次函数图象上时，有2=-2+（m+n），
解得：m+n=4；
当点D在该一次函数图象上时，有4=-3+（m+n），
解得：m+n=7．
∴当直线y=kx+b与矩形ABCD有公共点时，m+n的取值范围为4≤m+n≤7，
∴当直线y=kx+b与矩形ABCD有公共点时，m+n的最大值为7．
（4）由（3）可知：直线y=kx+b与矩形ABCD有公共点时，4≤m+n≤7，
∴若直线y=kx+b与矩形ABCD没有公共点时，m+n的取值范围为m+n＜4或m+n＞7．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解二元一次方程组、矩形的性质以及一次函数的图象，解题的关键是：（1）根据“标准函数”的定义确定函数y=x是在[1，2015]范围内的“标准函数”；（2）分k＞0和k＜0两种情况考虑；（3）求出k=-1，b=m+n；（4）依据（3）结论得出m+n的取值范围．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据“标准函数”的定义找出方程组是关键．