Question

有一个定理：若x₁、x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a、b、c为系数且为常数）的两个根，则x₁+x₂=、x₁•x₂=，这个定理叫做韦达定理．如：x₁、x₂是方程x²+2x-1=0的两个根，则x₁+x₂=-2、x₁•x₂=-1．
若x₁、x₂是方程x²+mx-2m=0的两个根．（其中m≠0）试求：
（1）x₁+x₂与x₁•x₂的值（用含有m的代数式表示）．
（2）x₁²+x₂²的值（用含有m的代数式表示）．[提示：x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂]
（3）若，试求m的值．

Answer 1

解：根据题意得
（1）x₁+x₂=-m，x₁•x₂=-2m；

（2）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（-m）²+4m=m²+4m；

（3）∵，
∴，
∴，
解得m₁=-6，m₂=0
经检验-6是m的值，0不是．
∴m=-6．
当m=-6时，方程即：x²-6x+12=0
判别式△=（-6）²-4×12=36-48=-12＜0
则方程无解．
∴m的值不存在．
分析：（1）利用韦达定理可求x₁+x₂，x₁x₂的值；
（2）对x₁²+x₂²进行变形，再把x₁+x₂，x₁x₂的值整体代入就可求值；
（3）可对+=1的左边进行变形，再把x₁+x₂，x₁x₂的值整体代入，即可得到关于m的方程，解即可．
点评：本题利用了根与系数的关系，即对于一个一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根x₁、x₂有这样的关系：x₁+x₂=-，x₁x₂=．