Question

如图，在矩形OABC中，OA、OC两边分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OC=2，过OA边上的D点，沿着BD翻折△ABD，点A恰好落在BC边上的点E处，反比例函数（k＞0）在第一象限上的图象经过点E与BD相交于点F．
（1）求证：四边形ABED是正方形；
（2）点F是否为正方形ABED的中心？请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴BC=OA=3、AB=OC=2，∠DAB=∠ABE=90°，
∵△BED是由△ABD沿着BD翻折得到的，
∴∠BED=∠DAB=90°，BA=BE，
∴四边形ABED是正方形；

（2）F点是正方形ABED的中心．理由如下：
过F作FH⊥x轴于H，如图，
∵四边形ABED是正方形，
∴BE=BA=2，CE=BC-BE=3-2=1，
∴E（1，2），
∴k=1×2=2，
∴反比例函数解析式为y=，
∵D（1，0）、B（3，2），
设直线BD的解析式为y=kx+b，
把D（1，0）、B（3，2）代入得k+b=0，3k+b=2，
解得k=1，b=-1，
∴直线BD的解析式为y=x-1，
解方程组得或，
∴F点的坐标为（2，1），
∵D（1，0）、B（3，2），
∴BD的中点坐标为（2，1）
∴F点是正方形ABED的中心．
分析：（1）∵四边形OABC是矩形，则BC=OA=3、AB=OC=2，∠DAB=∠ABE=90°，根据翻折的性质得到∠BED=∠DAB=90°，BA=BE，然后根据正方形的判定即可得到结论；
（2）过F作FH⊥x轴于H，根据正方形的性质得BE=BA=2，CE=BC-BE=3-2=1，得到E（1，2），则反比例函数解析式为y=，利用待定系数法可求得直线BD的解析式为y=x-1，然后解方程组得到F点的坐标为（2，1），而BD的中点坐标为（2，1），即可得到结论．
点评：本题考查了反比例函数综合题：反比例函数y=上的点的横纵坐标之积为k；运用待定系数法求函数的解析式；运用正方形的判定与性质解决问题；掌握翻折的性质．