Question

13．如图，在△ABC中，BD₁平分∠ABC，CD₁平分△ABC的外角∠ACE，BD₁，CD₁相交于D₁．
（1）若∠A=96°，求出∠D₁的度数；
（2）若∠A=α，∠D₁BC与∠D₁CE的平分线相交于点D₂，依此类推，∠D_n-1BC与∠D_n-1CE的平分线相交于点D_n，请直接写出∠D_n的度数．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线定义得出∠ABC=2∠DBC，∠ACE=2∠DCE，根据三角形外角性质得出2∠D+∠ABC=∠A+∠ABC，求出∠A=2∠D，即可求出答案；
（2）根据（1）的过程可得出结论．

解答 解：（1）∵BD平分∠ABC，CD₁平分∠ACE，
∴∠ABC=2∠D₁BC，∠ACE=2∠D₁CE，
∵∠ACE=2∠D₁CE=∠A+∠ABC，∠D₁CE=∠D₁+∠D₁BC，
∴2∠D₁CE=2∠D₁+2∠D₁BC，
∴∠ACE=2∠D₁+∠ABC，
∴2∠D₁+∠ABC=∠A+∠ABC，
∴∠A=2∠D₁，
∵∠A=96°，
∴∠D₁=$\frac{1}{2}$∠A=48°；

（2）由（1）的结论可知，∠D₁=$\frac{1}{2}$∠A，
同理可得，∠D₂=$\frac{1}{{2}^{2}}$∠A，
故∠D_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A．

点评 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于360°是解答此题的关键．