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    5．已知：矩形ABCD中，AC与BD交于O点，∠BAC=30°，过O作OE⊥BC，垂足为E．
    （1）OE与BC的数量关系是DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC．
    （2）点P是BC上的一动点（不与B、C重合）连结OP，将线段OP绕O顺时针旋转60°得线段OF，连结BF，请猜想BF、BP、OE三者之间的关系，并加以证明．
    （3）若P在直线BC上运动按照（2）中的作法，条件不变，请直接写出BF、OE、BP三者之间的关系，不必证明．

    分析 （1）由∠ABC=90°，∠BAC=30°得到∠ACB=60°，根据直角三角形斜边上中线性质得到OB=OC，则可判断△OCB为等边三角形，由于OE⊥BC，OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC；
    （2）根据旋转的性质得到∠POF=60°，OP=OF，易得∠COP=∠BOF，则可根据“SAS”可判断△OCP≌△OBF，则CP=BF，利用CP=BC-BPODE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC可得到BF+BP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$OE；
    （3）与（2）的证明方法一样得到△DCP≌△DBF得到CP=BF，然后分点P是线段BC延长线上一动点或点P是线段CB延长线上一动点，于是得到结论．

    解答 解：（1）∵∠ABC=90°，∠BAC=30°，
    ∴∠ACB=60°，
    ∵点O是AC的中点，
    ∴OB=OC，
    ∴△OCB为等边三角形，
    ∵OE⊥BC，
    ∴OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC；
    故答案为：DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC；

    （2）如图2，BF+BP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$DE．理由如下：
    ∵线段OP绕点O顺时针旋转60°，得到线段OF，
    ∴∠POF=60°，OP=OF，
    而∠COB=60°，
    ∴∠COB-∠POB=∠POF-∠POB，
    ∴∠COP=∠BOF，
    在△OCP和△OBF中，
    $\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{∠COP=∠BOF}\\{OP=OF}\end{array}\right.$，
    ∴△OCP≌△OBF（SAS），
    ∴CP=BF，
    ∵CP=BC-BP，
    ∴BF+BP=BC，
    ∵OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC，
    ∴BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$OE，
    ∴BF+BP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$OE；

    （3）如图3，
    点P是线段BC延长线上一动点，
    与（2）一样可证明△OCP≌△OBF，
    ∴CP=BF，
    而CP=BP-BC，
    ∴BP-BF=BC，
    ∴BP-BF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$OE，；
    如图4，点P是线段CB延长线上一动点与（2）一样可证明△OCP≌△OBF，
    ∴CP=BF，
    ∵CP=BP+BC，
    ∴BF-BP=BC，
    ∴BF-BP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$OE．

    点评 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，也考查了等边三角形的判定与性质以及含30度的直角三角形三边的关系，正确的作出图形是解题的关键．

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