Question

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的中点，连接AE、BE，∠EAD=∠EAB．给出下列五个结论：
①BE⊥AE；②BE平分∠ABC；③AD+BC=AB；④AB⊥BC；⑤_△ABC=

1

2

S_{四边形ABCD}；
其中正确的有（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：压轴题

分析：延长AE交BC延长线于M，求出∠EAB=∠M，推出AB=BM，AD=CM，AE=EM，即可推出①②③正确，根据三角形的面积公式即可判断⑤；根据AE和BE平分∠DAB、∠ABC即可判断④．

解答：解：延长AE交BC延长线于M，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠M，
∵∠EAD=∠EAB，
∴∠EAB=∠M，
∴AB=BM，
∵E为CD中点，
∴DE=ECC，
∵AD∥BC，
∴△DAE∽△CME，
∴

AD

CM

=

DE

CE

=

AE

EM

，
∴AD=CM，AE=EM，
∴AD+BC=AB，
∵AB=BM，AE=EM，
∴BE⊥AE；BE平分∠ABC；
∴∠ABE=∠CBE，
连接AC，
∵AD≠BC，
∴S_△ABC≠S_△ADC，
∴S_△ABC=

1

2

S_{四边形ABCD}错误；
∵AD≠BC，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，
∴∠DAE=∠EAB，∠ABE=∠CBE，
∴不能推出AB⊥BC，
即①②③正确；④⑤错误；
故选B．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判断，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定的应用，关键是推出△ABM是等腰三角形，题目是一道比较常见的题目，比较典型．