Question

如图，△ABC是等腰三角形，且顶角∠A=36°，DE是AB的垂直平分线，则有：
①BD平分∠ABC；②AD=BD=BC；③AD=CD；④△BCD的周长=AB+BC，
其中正确的有（　　）个．

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质

专题：

分析：根据线段垂直平分线的性质，可判断①，根据等角对等边，可判断②，根据线段垂直平分线BD+DC与AC的关系，再根据等量代换，可得④的答案．

解答：解：△ABC是等腰三角形，且顶角∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∠ABD=∠A=∠DBC=36°，故①正确；
∵∠DBC=36°，∠DCB=72°，
∴∠BCD=∠DCB=72°，
∴AD=DB=BC，故②正确；
∵∠DBC=36°≠∠DCB
∴BD≠CD，
∴AD≠CD故③错误；
∴AD=BD，
∴BD+DC+BC=AC+BC，
∴④△BCD的周长=AB+BC，故④正确；
故选：C．

点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，等腰三角形的两底角相等，两个角相等的三角形是等腰三角形．