Question

如图，抛物线y=-x²+ax+b过点A（-1，0），B（3，0），其对称轴与x轴的交点为C，反比例函数（x＞0，k是常数）的图象经过抛物线的顶点D．
（1）求抛物线和反比例函数的解析式．
（2）在线段DC上任取一点E，过点E作x轴平行线，交y轴于点F、交双曲线于点G，联结DF、DG、FC、GC．
①若△DFG的面积为4，求点G的坐标；
②判断直线FC和DG的位置关系，请说明理由；
③当DF=GC时，求直线DG的函数解析式．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=-x²+ax+b过点A（-1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，顶点D（1，4），
∵函数y=（x＞0，m是常数）图象经过D（1，4），
∴k=4，
则反比例解析式为y=；
（2）①设G点的坐标为（m，），
据题意，可得E点的坐标为（1，），F点的坐标为（0，），
∵m＞1，
∴FG=m，DE=4-，
由△DFG的面积为4，即m（4-）=4，得m=3，
∴点G的坐标为（3，）；
②直线FC和DG平行．理由如下：
据题意，点C的坐标为（1，0），FE=1，
∵m＞1，易得EC=，EG=m-1，DE=4-，
∴==m-1，==m-1，
∴=，
∵∠DEG=∠FEC，
∴△DEG∽△FEC，
∴∠EDG=∠ECF，
∴FC∥DG；
③∵FC∥DG，
∴当FD=CG时，有两种情况：
（i）当FD∥CG时，四边形DFCG是平行四边形，
由上题得==m-1，
∴m-1=1，即m=2，
∴点G的坐标是（2，2），
设直线DG的函数解析式为y=kx+b，把点D，G的坐标代入，得，
解得：，
∴直线DG的函数解析式是y=-2x+6；
（ii）当FD与CG所在直线不平行时，四边形ADCB是等腰梯形，则DC=FG，
∴m=4，
∴点G的坐标是（4，1），
设直线DG的函数解析式为y=mx+n，
把点D，G的坐标代入，得，
解得：，
∴直线DG的函数解析式是y=-x+5，
综上所述，所求直线DG的函数解析式是y=-2x+6或y=-x+5．
分析：（1）将A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，确定出抛物线解析式，以及顶点D坐标，将D坐标代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）①设点G的坐标为（m，），根据图形表示出E与F坐标，进而表示出FG与DE的长，根据三角形DFG面积为4列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可确定出G坐标；
②直线FC和DG的位置关系为平行，理由为：由C的坐标确定出OC的长，进而表示出EC，EG，DE，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似得到三角形DEG与三角形FEG相似，由相似三角形的对应角相等得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证；
③由FC与DG平行，当FD=CG时，有两种情况：（i）当FD∥CG时，四边形DFCG是平行四边形，由上题的比例式及平行四边形的对角线互相平分得到m-1=1，求出m的值，确定出G坐标，设直线DG解析式为y=kx+b，将D与G坐标代入求出k与b的值，求出此时直线DG解析式；（ii）当FD与CG所在直线不平行时，四边形ADCB是等腰梯形，则DC=FG，求出此时m的值，确定出G坐标，设直线DG解析式为y=mx+n，将D与G坐标代入求出m与n的值，求出此时直线DG解析式，综上，得到满足题意直线DG的解析式．
点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形及梯形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．