Question

17．设一列数a₁、a₂、a₃、…、a₂₀₁₃…中任意三个相邻数之和都是35，已知a₃=2x，a₂₀=15，a₉₉=3-x，那么a₂₀₁₄=18．

Answer 1

分析 首先根据任意三个相邻数之和都是35，推出a₁=a₄，a₂=a₅，a₃=a₆，总结规律为a₁=a_3n+1，a₂=a_3n+2，a₃=a_3n，即可推出a₂₀=a₂=15，a₉₉=a₃=3-x=2x，求出a₃=2，即可推出a₁=18，由a₂₀₁₄=a_671×3+1，推出a₂₀₁₄=a₁=18．

解答 解：∵任意三个相邻数之和都是35，
∴a₁+a₂+a₃=a₂+a₃+a₄=35，a₂+a₃+a₄=a₃+a₄+a₅=35，a₃+a₄+a₅=a₄+a₅+a₆=35，
∴a₁=a₄，a₂=a₅，a₃=a₆，∴a₁=a_3n+1，a₂=a_3n+2，a₃=a_3n，∵20=3×6+2，a₂₀=15，
∴a₂₀=a₂=15；
∵99=3×33，
∴a₉₉=a₃，
∵a₃=2x，a₉₉=3-x，
∴3-x=2x，
∴x=1，
∴a₃=2，∵a₁+a₂+a₃=35，
∴a₁=35-15-2=18，
∵2014=671×3+1，
∴a₂₀₁₄=a₁=18．
故答案为：18．

点评 本题主要考查通过分析题意总结规律，关键在于通过已知分析出a₁=a_3n+1，a₂=a_3n+2，a₃=a_3n，然后根据规律推出a₂₀=a₂，a₉₉=a₃，a₂₀₁₃=a₃，然后根据规律解决问题．