Question

12．已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B₁在y轴上且坐标是（0，2），点C₁、E₁、E₂、C₂、E₃、E₄、C₃在x轴上，C₁的坐标是（1，0）．B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃，以此继续下去，则点A₄到x轴的距离是$\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 过A₁作A₁C⊥y轴于C，从而易证△A₁CB₁≌△B₁OC₁≌△C₁E₁D₁，由此可以先求出A₁的纵坐标，接着由B₁C₁∥B₂C₂可得△B₁C₁O∽△B₂C₂E₂，求出A₂的纵坐标，后面各点的求法是相同的，进而发现规律：后面各点的纵坐标是前一个的一半．

解答 解：如图，过A₁作A₁C⊥y轴于C，设A₁、A₂、A₃、A₄的纵坐标依次为y₁，y₂，y₃，y₄，

易证△A₁CB₁≌△B₁OC₁≌△C₁E₁D₁，
∴CB₁=OC₁=D₁E₁=1，A₁C=B₁O=C₁E₁=2，
∴y₁=CB₁+B₁O=OC₁+C₁E₁=3，
由B₁C₁∥B₂C₂易知△B₁C₁O∽△B₂C₂E₂，
∴${C}_{2}{E}_{2}=\frac{1}{2}O{C}_{1}$=$\frac{1}{2}$，
同理可求${y}_{2}={E}_{2}{C}_{2}+{C}_{2}{E}_{3}=\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}{y}_{1}$，
${y}_{3}=\frac{1}{2}{y}_{2}=\frac{3}{4}$，
${y}_{4}=\frac{1}{2}{y}_{3}=\frac{3}{8}$，
即点A₄到x轴的距离是$\frac{3}{8}$．
故答案为$\frac{3}{8}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，难度中等．发现并证明A₁、A₂、A₃、A₄的纵坐标是等比关系是解决本题的关键．