Question

已知关于x的方程x²+2x+=O，其中k为实数．当k为何值时，方程没有实数根？

Answer 1

解：令x²+2x-2k=y，则原方程可化为y²+2ky+k²-1=0，解得y₁=-k+1，y₂=-k-1，（显然k=±1时，原方程有实数根），
由此得x²+2x-k-1=0…①，或x²+2x-k+1=0…②，
对于①，由△₁=2²-4（-k-1）＜0，∴k＜-2，
对于②，由△₂=2²-4（-k+1）＜0，∴k＜0，
故当k＜-2时，原方程没有实数根．
分析：先把原方程化为y²+2ky+k²-1=0，用k表示出y₁、y₂的值，把y₁、y₂的值代入原方程，再根据原方程无解时
根的判别式小于0，求出k的值即可．
点评：本题考查的是用换元法解分式方程及一元二次方程根的判别式，先用换元法把方程化为y²+2ky+k²-1=0的形式是解答此题的关键．