Question

如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC、AC上，且∠ADE=60°，
（1）求证：BD•CD=AC•CE；
（2）若△ABC的边长为6，CD=2BD，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）由△ABC是等边三角形，∠ADE=60°，易证得∠B=∠D=60°，∠BAD=∠CDE，即可证得△ABD∽△DCE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可证得BD•CD=AC•CE；
（2）首先过点A作AF⊥BC于F，由等边三角形的性质，即可求得BF与AF的长，又由CD=2BD，易求得DF的长，然后利用勾股定理即可求得AD的长．

解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=AC，
∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴

AB

CD

=

BD

CE

，
∴BD•CD=AB•CE，
即BD•CD=AC•CE；

（2）解：过点A作AF⊥BC于F，
∵△ABC是等边三角形，边长为6
∴BF=

1

2

BC=3，
∵CD=2BD，
∴AB=BC=6，BD=2，
∴DF=1，
在Rt△ABF中，AF=

AB2-BF2

=3

3

，
在Rt△ADF中，AD=

AF2+DF2

=2

7

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．