Question

如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．
（1）求AD的长；
（2）求cosA的值（结果保留根号）．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,黄金分割,锐角三角函数的定义

专题：

分析：（1）求出AD=BD=BC，证△ABC∽△BDC，推出

BC

CD

=

AC

BC

，求出BC²=AD²=AC×（AC-AD），求出AD=

5 -1

2

AC，代入求出即可；
（2）如图，过点D作DE⊥AB于点E．由等腰三角形“三合一”的性质得到：AE=

1

2

AB=

1

2

，则根据锐角三角函数的定义得到：cosA=

AE

AD

，将相关线段的长度代入求值即可．

解答：解：（1）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠C=∠ABC=

1

2

（180°-∠A）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°=∠A，
∴AD=BD，
∵∠C=72°，∠CBD=36°，
∴由三角形内角和定理得：∠BDC=72°=∠C，
∴BD=BC=AD，
∵∠C=∠C，∠CBD=∠A，
∴△ABC∽△BDC，
∴

BC

CD

=

AC

BC

，
∴BC²=AC×CD，
∵AD=BD=BC，
∴AD²=AC×CD=AC×（AC-AD），
解关于AD的方程得：AD=

5 -1

2

AC=

5 -1

2

，即AD=

5 -1

2

；

（2）如图，过点D作DE⊥AB于点E．
由（1）知，AD=BD，则AE=

1

2

AB=

1

2

，
∴cosA=

AE

AD

，即

1 2

5 -1 2

=

5 +1

4

，
∴cosA的值是

5 +1

4

．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，角平分线定义，相似三角形的性质和判定，黄金分割等知识点的综合运用．