Question

1．已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a，12），点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作x轴、y轴的平行线与直线OA交于点C，E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点C为OA的中点，求EB的长．

Answer 1

分析 （1）将点A的坐标代入直线解析式求出a的值，继而将点A的坐标代入抛物线解析式可得出b的值，继而得出抛物线解析式；
（2）根据点B的横坐标为m，表示出点B的坐标是（m，$\frac{1}{2}$m²-m），点E的坐标为（m，2m），根据A，O点坐标得出C点坐标，进而得出m的值即可得出答案．

解答 解：（1）∵点A（a，12）在直线y=2x上，
∴12=2a，
解得：a=6，
又∵点A是抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx上的一点，
将点A（6，12）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx，可得b=-1，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-x．

（2）如图所示：∵点B的横坐标为m，
∴点B的坐标是（m，$\frac{1}{2}$m²-m），点E的坐标为（m，2m），
∴BE=2m-（$\frac{1}{2}$m²-m）=-$\frac{1}{2}$（m-3）²+$\frac{9}{2}$，
∵C为AO的中点，
∴C（3，6），
∴$\frac{1}{2}$m²-m=6，
解得：m₁=1+$\sqrt{13}$，m₂=1-$\sqrt{13}$（不合题意舍去），
∴BE=-$\frac{1}{2}$（m-3）²+$\frac{9}{2}$=-$\frac{1}{2}$（1+$\sqrt{13}$-3）²+$\frac{9}{2}$=2$\sqrt{13}$-4．

点评 此题考查了二次函数的性质、配方法、待定系数法求二次函数解析式的知识，表示出C、E、B点坐标是解题关键．