Question

9．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=CE，CD与BE相交于点O．

（1）如图（1），求∠BOD的度数；
（2）如图（2），如果点D、E分别在边AB、CA的延长线时，求∠BOD的度数．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到BC=AC，∠BCA=∠CAB，推出△BCE≌△CAD，根据全等三角形的性质得到∠CBE=∠ACD，由于∠BCD+∠ACD=60°，推出∠BCD+∠CBE=60°，根据∠BOD=∠BCD+∠CBE，即可得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到BC=AC，∠BCA=∠CAB=60°，推出△BCE≌△CAD，根据全等三角形的性质得到∠CBE=∠ACD，由于∠CBE+∠E=180°，∠BCA即可得到结论．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠BCA=∠CAB，
在△BCE与△CAD中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCA=∠CAB}\\{AD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CAD，
∴∠CBE=∠ACD，
∵∠BCD+∠ACD=60°，
∴∠BCD+∠CBE=60°，
又∵∠BOD=∠BCD+∠CBE，
∴∠BOD=60°；

（2）∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠BCA=∠CAB=60°，
在△BCE与△CAD中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCA=∠CAB}\\{AD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CAD，
∴∠CBE=∠ACD，
∵∠CBE+∠E=180°，∠BCA=120°，
∴∠BOD=∠ACD+∠E=120°．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．